Родился 19 января 1925 года в Елабуге. После окончания семи классов школы А. Аббасов поступил в Казанский авиационный техникум и , окончив его в 1943 году, стал работать конструктором на казанском вертолетном заводе.
Семья Аббасовых была по-своему музыкальной: в ней любили песню, музыку, хорошо знали татарский песенный фольклор. Друг семьи, композитор С. Сайдашев, услышав пение Азата, посоветовал ему попробовать профессионально учиться пению. В 1944 году А. Аббасов поступил в национальную оперную студию при Московской консерватории, а закончив ее в 1950 году, вернулся в Казань, в Татарский государственный театр оперы и балета имени М. Джалиля.
Артистом исполнено более 100 партий - это почти все ведущие роли в спектаклях театра. В каждом спектакле артист находит своеобразные неповторимые штрихи, характеризующие его героев. Репертуар А. Аббасова очень разнообразен: вмещает оперную классику: русскую и татарскую, западноевропейскую; оперетты и музыкальные комедии. Чтобы представить его творческий диапазон, достаточно назвать лишь некоторые роли: Фауст, Ричард, Герцог и Альфред ("Бал-маскарад", "Риголетта", "Травиата"), Каварадосси, Шуйский ("Тоска", "Чио-Чио-Сан"), Самозванец, Шуйский ("Борис Годунов"), Владимир ("Князь Игорь"), Булат в "Наемщике" С. Сайдашева, Галимджан и Карим бай в "Башмачках" Дж. Файзи и много других партий. Высоко оценены заслуги А.З. Аббасова в развитии вокального искусства: ему было присвоено звание заслуженного артиста Татарстана, заслуженного и народного артиста РФ и народного артиста СССР.
