Что объединяет папоротник, кровеносную систему человека и трещину на стене хрущевки? Ответ на это даст только математика.
Фрактал – это некая фигура со свойством самоподобия, то есть, сколько бы мы не приближались к ней, мы будем видеть ту же картину, что была изначально. Всем знакомые примеры фракталов - это папоротник, капуста брокколи, капуста романеско, горные пейзажи.
Мы попросили Давида Каца, аспиранта Института математики и механики К(П)ФУ, выступить для нас проводником в этот странный мир бесконечного повторения.
«Брокколи – конечно, полезный, замечательный продукт, но математики обычно с капустой дело не имеют, – начинает рассказ Давид. - Изучаются различные математические объекты. Самые классические из них – это множество Кантора, салфетка Серпинского, снежинка Коха».
Систематическое изучение фракталов смог начать математик Бенуа Мандельброт лишь в 1970-х годах. Он утверждал, что во многих случаях именно фракталы являются наиболее близкими к действительности математическими моделями реальных объектов. Несмотря на то, что эти фигуры в то время считались странными диковинками, Мандельброт сумел продвинуть свои исследования.
«Почему их называли «монстрами»? – комментирует Давид. - Во-первых, их нельзя изобразить вручную. Во-вторых, вычислительные методы, которые нам были раньше известны, хорошо работали только с «гладкими» кривыми».
Реальность такова: все, с чем мы имели дело в школе: прямые, параболы, синусоиды, – это лишь красивое исключение из правил, которое в природе встречается крайне редко. Мир состоит из «монстров»: фракталов и других неспрямляемых кривых.
«А нам хочется все уметь считать, - продолжает Давид, - Сейчас работа ученых сконцентрирована на том, чтобы стандартные методы математики распространить и на эти странные явления. Моя научная деятельность (та, которую я начал еще в магистратуре) непосредственно связана с разработкой одного из типов характеристик этих самых фракталов. Есть надежда, что в будущем мы переведем всю математику на рельсы неспрямляемых кривых, и это даст прибавку везде».
Уже сейчас фрактальная геометрия оказывается полезной во многих областях. Так, если при диагностировании онкозаболеваний мы видим, что фрактальная сетка сосудов в каком-то месте нарушена, то следует обратить туда внимание: почти наверняка именно этот участок выступит очагом болезни. Лес – это один большой фрактал, и с помощью фрактальной геометрии можно бороться с его исчезновением, прогнозировать, как он будет разрастаться, выявлять слабые места. Фрактальные антенны, которые используются в мобильных телефонах, работают лучше, чем обычные. В экономических графиках тоже наблюдаются фракталы, и теперь мы лучше представляем, как с ними работать. В инженерном деле, например, при устранении трещин, а также в компьютерной графике также необходимо применение таких методов.
Алсу ГАРАПОВА
